Esercizio trasformata z

Sia H(z)=z^2/(az^2-z-1), determinare a e h[n], sapendo che h[0]=1/6 e che la risposta h[n] è destra.  
Il sistema descritto dalla h[n] determinata è stabile?

h[0] è uguale per definizione al limite per z che va a infinito di H(z), quindi essendo questo limite 1/a e imponendo che h[0] sia uguale a 1/6 allora si ha l'equazione 1/a=1/6 e quindi a=6.
Ora per determinare la successione h[n], cioè antitrasformare H(z), calcoliamo i poli della trasformata:

I poli sono in modulo minori ad 1, quindi essendo il segnale h[n] destro la regione di convergenza di H(z) è esterna ai poli e contiene la circonferenza di raggio 1 quindi il sistema è stabile.
Suddividiamo H(z) in fratti semplici: H(z) = z [A/(z-1/2) + B/(z+1/3) ]. Bisogna calcolare i valori di A e B.
Si trova A = 1/10 e B = 1/15 allora :

e ricordando la seguente antitrasformata notevole:

Si arriva dunque alla successione 

Sviluppo in serie di Fourier sequenza tempo discreto

Il periodo x[n] è N=20, vedi post precedente.

Periodo di una sequenza discreta

Determinare il periodo della sequenza x[n]=cos(π n/2)+sin(2π n/5).

Determiniamo il periodo C di cos(π n/2), poi il periodo S di sin(2π n/5) quindi il periodo N di x[n] sarà il minimo comune multiplo tra i due periodi C ed S.

cos(π( n+C)/2)=cos(π n/2+2kπ ) (applicando la funzione inversa del coseno)

π( n+C)/2= π n/2+2kπ (dividendo per π)

(n+C)/2=n/2+2k (moltiplicando per 2)

n+C=n+4k (sottraendo n)

C=4k ---> il periodo è il minore intero maggiore di 0, quindi per k=1 C=4

sin(2π (n+S)/5)=sin(2π n/5+2kπ) (applicando la funzione inversa del seno)

2π (n+S)/5= 2π n/5+2kπ (dividendo per 2π)

(n+S)/5= n/5+k (moltiplicando per 5)

n+S=n+5k (sottraendo n)

S=5k ---> il periodo è il minore intero maggiore di 0, quindi per k=1 S=5

Il periodo N di x[n] è il minimo comune multiplo tra C=4 e S=5 perciò N=20.

Esercizio sistema lineare tempo invariante

Verificare se il sistema y(t)=x(1-t) è lineare e/o tempo invariante.

Lineare?

Scriviamo due ingressi e le rispettive uscite:

u(t) ---> y(t)=u(1-t)

q(t) ---> w(t)=q(1-t)

Ora l'ingresso dato dalla combinazione lineare dei due ingressi con la sua uscita:

p(t)=au(t)+bq(t) ---> r(t)=p(1-t)=au(1-t)+bq(1-t)

Ora la combinazione lineare delle due uscite dei singoli ingressi:
ay(t)+bw(t)=au(1-t)+bq(1-t)

Si vede che è uguale a r(t) cioè l'uscita della combinazione lineare degli ingressi quindi è lineare.

Tempo invariante?

Scriviamo un ingresso e la rispettiva uscita:

x(t) ---> y(t)=x(1-t)

e l'ingresso traslato di k con la sua uscita:

g(t)=x(t-k) ---> g(1-t)=x(1-t-k)

Ora l'uscita all'ingresso x(t), cioè y(t), traslata di k

y(t-k)=x(1-(t-k))=x(1-t+k)

Si vede che non è uguale all'uscita di x(t-k) quindi non è tempo invariante.

Per sapere cosa sia un sistema lineare e tempo invariante leggi il post precedente.

Sistema lineare e tempo invariante

Un sistema si dice lineare se dati due ingressi u(t), con uscita y(t), e q(t), con uscita w(t), allora la combinazione lineare dei due ingressi au(t)+bq(t) ha come uscita la combinazione lineare delle due uscite cioè ay(t)+bw(t); a e b sono delle costanti.

In simboli:

u(t) ---> y(t)

q(t) ---> w(t)

au(t)+bq(t) ---> ay(t)+bw(t) , con a e b costanti

Un sistema si dice tempo invariante se dato un ingresso x(t) con uscita y(t), allora l'uscita corrispondente all'ingresso traslato x(t-k) è proprio l'uscita traslata y(t-k); k è una costante.

In simboli:

x(t) ---> y(t)

x(t-k) ---> y(t-k)

Esercizio numeri complessi, soluzione equazione.