Esercizio java: elevare a potenza un numero

Questo post è la continuazione, lo sviluppo di Esercizio java: potenza seconda di un numero.
L'esempio consiste in un programmino che calcola e stampa la potenza n-esima di  un numero dati ( n ed il numero) in input dall'utente. Si ha quindi un metodo che eleva alla potenza desiderata un numero fornendo quindi il risultato richiesto.
Ecco il codice:

class Potenza{
  public static void main(String [] args){
    double a=5.7;
    int b=3;
    System.out.println(a+"elevato alla "+b+" = "+eleva(a,b));
  }
  public static double eleva(double a,int b){      //elevamento a potenza di a alla b, a^b, con b>=0
    if(b<0)           //se b è minore di 0 non va bene allora resituiamo -1 per default
      return -1;
    double out=1;          //valore da restituire
    for(int i=0;i<b;i++){
      out*=a;          //il valore da resitituire viene moltiplicato b volte per a
    }
    return out;
  }
}

Esercizio risolto numeri complessi

Calcolare i valori di :     .

Sommiamo i due numeri complessi all'interno della parentesi tonda riscrivendoli in un'altra forma:
dalle formule di Eulero si sa che
Allora:



Calcoliamo il modulo del numero complesso tra parentesi:

Quindi riscriviamo l'ultima parte mettendo in evidenza il modulo:

Ed ora si calcola la fase del numero complesso nelle parentesi tonde più interne:

E scrivendo il numero complesso in forma polare (ricordando che se la fase viene variata di 2kπ con k un numero intero il numero complesso rimane lo stesso) viene:

Dunque i valori sono 3:

Densità di probabilità congiunta e marginali (indipendenza)

Data la seguente densità di probabilità congiunta (la stessa dell'esercizio del post precedente):

 
 stabilire se le variabili aleatorie X e Y sono tra loro indipendenti.

Per risolvere questo esercizio si calcolano le rispettive densità di probabilità marginali:
 
e
 
Poi per vedere se X e Y sono indipendenti allora basta vedere se vale questa uguaglianza:

 
Se vale, cioè la densità di probabilità congiunta è uguale al prodotto delle densità di probabilità marginali, allora X e Y sono indipendenti altrimenti non lo sono.
Vediamo le densità di probabilità marginali di questo esercizio:


e

Ci si accorge che il prodotto delle due densità di probabilità marginali non è uguale alla densità di probabilità congiunta quindi le due variabili aleatorie X e Y non sono indipendenti.

Probabilità esercizio: densità di probabilità congiunta

Data la seguente densità di probabilità congiunta:

 




determinare il valore della costante c. 

Per essere una densità di probabilità congiunta allora deve valere la seguente proprietà:
 
 

E quindi vediamo di disegnare in nero la zona del 
piano in cui la densità di probabilità congiunta è diversa da 0, e cioè vale c. 
In questa zona del piano si ha:
 








Allora calcoliamo il doppio integrale su questo dominio e poniamo il risultato uguale a 1:

Allora c deve essere uguale a 2.