Matematica: operazioni con i numeri complessi

I numeri complessi possono esser visti come dei vettori a due componenti reali (x, y) e quindi z = x + iy.
Per sommare due (o più) numeri complessi si sommano le loro componenti : (x, y) + (a, b) = (x+a, y+b).
Per moltiplicare un numero complesso con un mumero reale si moltiplica quest'ultimo con le componenti del numero complesso: r * (x, y)  = (r*x, r*y).
Per moltiplicare tra loro due numeri complessi si opera in questo modo: (x, y) * (a, b) = (x*a - y*b, x*b + y*a).
Le operazioni di somma e prodotto sono associative, commutative e vale la proprietà distributiva.
Un numero reale x può venir rappresentato anche come numero complesso (x, 0)  cioè z = x + 0i = x.
I numeri complessi hanno due unità : (1, 0) = 1 e (0, 1) = i (detta unità immaginaria).
Grazie a queste due unità un numero complesso (x, y) =  (x, 0) + (0, y) = x + y(0, 1) = x + yi
Vediamo quanto fa i^2 = (0, 1)^2 = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 - 1*1, 0*1 + 1*0) = (-1, 0) = -1.
Quindi ugualgliando i due estremi, sinistro e destro, dell'equazione si ricava che i^2 = -1.
Ora concentriamoci sulle potenze di i :

• i^0  = 1
• i^1  = i
• i^2  = -1
• i ^3 = i^2 * i = -1*i = -i
• i^4 = i^3 * i = -i * i = -1 * (-1) = 1
• i^5 = i^4 * i = 1 * i = i
• i^6 = i^4 * i^2 = 1 * i^2  = 1 * (-1) = -1
• i^7 = i^4 * i^3 = 1 * i^3  = 1 * (-i) = -i

A questo punto si capisce che se due numeri m ed n danno lo stesso resto se vengono divisi per 4, m=n(mod 4), allora i^m = i^n.
Inoltre se dividiamo m per 4 ed otteniamo il risultato q con resto r allora m = 4*q + r , dunque i^m = i^(4*q + r) = i^(4*q) * i^r = (i^4)^q + i^r = 1^q + i^r = i^r .
Nel post precedente sui numeri complessi si è detto che z^2 = -9/4 ha come soluzioni 3/2i  e -3/2i. Infatti se proviamo ad elevare al quadrato le due soluzioni si ottiene -9/4 :

1. ((3/2)i)^2 = (3/2)i * (3/2)i = 9/4 * i^2 = -9/4
2. (-3/2i)^2 = -(3/2)i * -(3/2)i = 9/4 * i^2 = -9/4

Matematica: introduzione ai numeri complessi

I numeri complessi ( che nell'insieme vengono indicati con ) sono stati introdotti perchè l'insieme dei numeri reali ( ) non è algebricamente chiuso. Il motivo quindi consiste che grazie ai numeri complessi si possono risolvere equazioni del tipo: 4x^2+9 = 0  -->  x^2 = -9/4.
Nell'insieme dei numeri reali non esiste un numero x il cui quadrato x^2 sia un numero negativo. Questo è dovuto al fatto che x^2>=0 per ogni x appartenente all'insieme dei numeri reali.
Se x fosse positivo si avrebbe la moltiplicazione di due numeri positivi ( + per + uguale + ) e quindi il risultato sarebbe positivo, se x fosse negativo si avrebbe la moltiplicazione di due numeri negativi ( - per - uguale + ) e quindi il risultato sarebbe positivo ed infine se x fosse 0 il risultato sarebbe 0.
Un numero complesso z = x + iy è una specie di vettore composto da due numeri reali chiamati parte reale x e parte immaginaria y e la sua "particolarità" è l'unità immaginaria i.
Ecco quindi che nell'insieme dei numeri complessi  esistono numeri complessi il cui quadrato è un numero reale negativo. Ad esempio ritornando all'equazione precedente 4x^2+9 = 0 che non ammette soluzione nell'insieme dei numeri reali ha invece due soluzioni nell'insieme dei numeri complessi, cioè 3/2i e -3/2i con rad(numero) che indica la radice quadrata del numero tra le parentesi.

Ricerca operativa (Operation Research o Management Science)

Ricerca operativa è matematica, ma applicata a problemi di decisione.

Mette a disposizione dei modelli matematici per rispondere alle decisioni. Si parte da casi reali, concreti, problemi realistici di decisione con i dati numerici per stabilire (se esiste) una soluzione ottimale. Si va dal particolare, specifico al generale: percorso induttivo.

Cos'è una decisione? 

Una decisione prevede delle alternative e si decide quale alternativa mettere in esecuzione. Si fa un'analisi delle alernative e si cerca di capire quali sono le conseguenze per ogni alternativa possibile. La scelta viene fatta per lo più per le conseguenze, scegliendo l'effetto migliore. Per fare questa scelta si adoperano dei criteri.

Esempio.
Decisione da fare: prendere l'ombrello?
Alternative: 

1. Prendere l'ombrello
2. Non prendere l'ombrello

Conseguenze:

1. Lo si deve portare in giro ma se piove non ci si bagna
2. Se piove ci si bagna

Criteri: comodità e rischio di bagnarsi

Alcune conseguenze possono non dipendere ed essere univocamente determinate dalle alternative (riferendosi all'esempio precedente, il fattore atmosferico) ed i criteri possono essere diversi, sono soggettivi.