Matematica: operazioni con i numeri complessi

I numeri complessi possono esser visti come dei vettori a due componenti reali (x, y) e quindi z = x + iy.
Per sommare due (o più) numeri complessi si sommano le loro componenti : (x, y) + (a, b) = (x+a, y+b).
Per moltiplicare un numero complesso con un mumero reale si moltiplica quest'ultimo con le componenti del numero complesso: r * (x, y)  = (r*x, r*y).
Per moltiplicare tra loro due numeri complessi si opera in questo modo: (x, y) * (a, b) = (x*a - y*b, x*b + y*a).
Le operazioni di somma e prodotto sono associative, commutative e vale la proprietà distributiva.
Un numero reale x può venir rappresentato anche come numero complesso (x, 0)  cioè z = x + 0i = x.
I numeri complessi hanno due unità : (1, 0) = 1 e (0, 1) = i (detta unità immaginaria).
Grazie a queste due unità un numero complesso (x, y) =  (x, 0) + (0, y) = x + y(0, 1) = x + yi
Vediamo quanto fa i^2 = (0, 1)^2 = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 - 1*1, 0*1 + 1*0) = (-1, 0) = -1.
Quindi ugualgliando i due estremi, sinistro e destro, dell'equazione si ricava che i^2 = -1.
Ora concentriamoci sulle potenze di i :

• i^0  = 1
• i^1  = i
• i^2  = -1
• i ^3 = i^2 * i = -1*i = -i
• i^4 = i^3 * i = -i * i = -1 * (-1) = 1
• i^5 = i^4 * i = 1 * i = i
• i^6 = i^4 * i^2 = 1 * i^2  = 1 * (-1) = -1
• i^7 = i^4 * i^3 = 1 * i^3  = 1 * (-i) = -i

A questo punto si capisce che se due numeri m ed n danno lo stesso resto se vengono divisi per 4, m=n(mod 4), allora i^m = i^n.
Inoltre se dividiamo m per 4 ed otteniamo il risultato q con resto r allora m = 4*q + r , dunque i^m = i^(4*q + r) = i^(4*q) * i^r = (i^4)^q + i^r = 1^q + i^r = i^r .
Nel post precedente sui numeri complessi si è detto che z^2 = -9/4 ha come soluzioni 3/2i  e -3/2i. Infatti se proviamo ad elevare al quadrato le due soluzioni si ottiene -9/4 :

1. ((3/2)i)^2 = (3/2)i * (3/2)i = 9/4 * i^2 = -9/4
2. (-3/2i)^2 = -(3/2)i * -(3/2)i = 9/4 * i^2 = -9/4