Esercizio risolto numeri complessi

Calcolare i valori di :     .

Sommiamo i due numeri complessi all'interno della parentesi tonda riscrivendoli in un'altra forma:
dalle formule di Eulero si sa che
Allora:



Calcoliamo il modulo del numero complesso tra parentesi:

Quindi riscriviamo l'ultima parte mettendo in evidenza il modulo:

Ed ora si calcola la fase del numero complesso nelle parentesi tonde più interne:

E scrivendo il numero complesso in forma polare (ricordando che se la fase viene variata di 2kπ con k un numero intero il numero complesso rimane lo stesso) viene:

Dunque i valori sono 3:

Densità di probabilità congiunta e marginali (indipendenza)

Data la seguente densità di probabilità congiunta (la stessa dell'esercizio del post precedente):

 
 stabilire se le variabili aleatorie X e Y sono tra loro indipendenti.

Per risolvere questo esercizio si calcolano le rispettive densità di probabilità marginali:
 
e
 
Poi per vedere se X e Y sono indipendenti allora basta vedere se vale questa uguaglianza:

 
Se vale, cioè la densità di probabilità congiunta è uguale al prodotto delle densità di probabilità marginali, allora X e Y sono indipendenti altrimenti non lo sono.
Vediamo le densità di probabilità marginali di questo esercizio:


e

Ci si accorge che il prodotto delle due densità di probabilità marginali non è uguale alla densità di probabilità congiunta quindi le due variabili aleatorie X e Y non sono indipendenti.

Probabilità esercizio: densità di probabilità congiunta

Data la seguente densità di probabilità congiunta:

 




determinare il valore della costante c. 

Per essere una densità di probabilità congiunta allora deve valere la seguente proprietà:
 
 

E quindi vediamo di disegnare in nero la zona del 
piano in cui la densità di probabilità congiunta è diversa da 0, e cioè vale c. 
In questa zona del piano si ha:
 








Allora calcoliamo il doppio integrale su questo dominio e poniamo il risultato uguale a 1:

Allora c deve essere uguale a 2.

Esercizio trasformata z

Sia H(z)=z^2/(az^2-z-1), determinare a e h[n], sapendo che h[0]=1/6 e che la risposta h[n] è destra.  
Il sistema descritto dalla h[n] determinata è stabile?

h[0] è uguale per definizione al limite per z che va a infinito di H(z), quindi essendo questo limite 1/a e imponendo che h[0] sia uguale a 1/6 allora si ha l'equazione 1/a=1/6 e quindi a=6.
Ora per determinare la successione h[n], cioè antitrasformare H(z), calcoliamo i poli della trasformata:

I poli sono in modulo minori ad 1, quindi essendo il segnale h[n] destro la regione di convergenza di H(z) è esterna ai poli e contiene la circonferenza di raggio 1 quindi il sistema è stabile.
Suddividiamo H(z) in fratti semplici: H(z) = z [A/(z-1/2) + B/(z+1/3) ]. Bisogna calcolare i valori di A e B.
Si trova A = 1/10 e B = 1/15 allora :

e ricordando la seguente antitrasformata notevole:

Si arriva dunque alla successione