Densità di probabilità congiunta e marginali (indipendenza)

Data la seguente densità di probabilità congiunta (la stessa dell'esercizio del post precedente):

 
 stabilire se le variabili aleatorie X e Y sono tra loro indipendenti.

Per risolvere questo esercizio si calcolano le rispettive densità di probabilità marginali:
 
e
 
Poi per vedere se X e Y sono indipendenti allora basta vedere se vale questa uguaglianza:

 
Se vale, cioè la densità di probabilità congiunta è uguale al prodotto delle densità di probabilità marginali, allora X e Y sono indipendenti altrimenti non lo sono.
Vediamo le densità di probabilità marginali di questo esercizio:


e

Ci si accorge che il prodotto delle due densità di probabilità marginali non è uguale alla densità di probabilità congiunta quindi le due variabili aleatorie X e Y non sono indipendenti.