Sistema lineare e tempo invariante

Un sistema si dice lineare se dati due ingressi u(t), con uscita y(t), e q(t), con uscita w(t), allora la combinazione lineare dei due ingressi au(t)+bq(t) ha come uscita la combinazione lineare delle due uscite cioè ay(t)+bw(t); a e b sono delle costanti.

In simboli:

u(t) ---> y(t)

q(t) ---> w(t)

au(t)+bq(t) ---> ay(t)+bw(t) , con a e b costanti

Un sistema si dice tempo invariante se dato un ingresso x(t) con uscita y(t), allora l'uscita corrispondente all'ingresso traslato x(t-k) è proprio l'uscita traslata y(t-k); k è una costante.

In simboli:

x(t) ---> y(t)

x(t-k) ---> y(t-k)

Esercizio numeri complessi, soluzione equazione.

Matematica: operazioni con i numeri complessi

I numeri complessi possono esser visti come dei vettori a due componenti reali (x, y) e quindi z = x + iy.
Per sommare due (o più) numeri complessi si sommano le loro componenti : (x, y) + (a, b) = (x+a, y+b).
Per moltiplicare un numero complesso con un mumero reale si moltiplica quest'ultimo con le componenti del numero complesso: r * (x, y)  = (r*x, r*y).
Per moltiplicare tra loro due numeri complessi si opera in questo modo: (x, y) * (a, b) = (x*a - y*b, x*b + y*a).
Le operazioni di somma e prodotto sono associative, commutative e vale la proprietà distributiva.
Un numero reale x può venir rappresentato anche come numero complesso (x, 0)  cioè z = x + 0i = x.
I numeri complessi hanno due unità : (1, 0) = 1 e (0, 1) = i (detta unità immaginaria).
Grazie a queste due unità un numero complesso (x, y) =  (x, 0) + (0, y) = x + y(0, 1) = x + yi
Vediamo quanto fa i^2 = (0, 1)^2 = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 - 1*1, 0*1 + 1*0) = (-1, 0) = -1.
Quindi ugualgliando i due estremi, sinistro e destro, dell'equazione si ricava che i^2 = -1.
Ora concentriamoci sulle potenze di i :

• i^0  = 1
• i^1  = i
• i^2  = -1
• i ^3 = i^2 * i = -1*i = -i
• i^4 = i^3 * i = -i * i = -1 * (-1) = 1
• i^5 = i^4 * i = 1 * i = i
• i^6 = i^4 * i^2 = 1 * i^2  = 1 * (-1) = -1
• i^7 = i^4 * i^3 = 1 * i^3  = 1 * (-i) = -i

A questo punto si capisce che se due numeri m ed n danno lo stesso resto se vengono divisi per 4, m=n(mod 4), allora i^m = i^n.
Inoltre se dividiamo m per 4 ed otteniamo il risultato q con resto r allora m = 4*q + r , dunque i^m = i^(4*q + r) = i^(4*q) * i^r = (i^4)^q + i^r = 1^q + i^r = i^r .
Nel post precedente sui numeri complessi si è detto che z^2 = -9/4 ha come soluzioni 3/2i  e -3/2i. Infatti se proviamo ad elevare al quadrato le due soluzioni si ottiene -9/4 :

1. ((3/2)i)^2 = (3/2)i * (3/2)i = 9/4 * i^2 = -9/4
2. (-3/2i)^2 = -(3/2)i * -(3/2)i = 9/4 * i^2 = -9/4

Matematica: introduzione ai numeri complessi

I numeri complessi ( che nell'insieme vengono indicati con ) sono stati introdotti perchè l'insieme dei numeri reali ( ) non è algebricamente chiuso. Il motivo quindi consiste che grazie ai numeri complessi si possono risolvere equazioni del tipo: 4x^2+9 = 0  -->  x^2 = -9/4.
Nell'insieme dei numeri reali non esiste un numero x il cui quadrato x^2 sia un numero negativo. Questo è dovuto al fatto che x^2>=0 per ogni x appartenente all'insieme dei numeri reali.
Se x fosse positivo si avrebbe la moltiplicazione di due numeri positivi ( + per + uguale + ) e quindi il risultato sarebbe positivo, se x fosse negativo si avrebbe la moltiplicazione di due numeri negativi ( - per - uguale + ) e quindi il risultato sarebbe positivo ed infine se x fosse 0 il risultato sarebbe 0.
Un numero complesso z = x + iy è una specie di vettore composto da due numeri reali chiamati parte reale x e parte immaginaria y e la sua "particolarità" è l'unità immaginaria i.
Ecco quindi che nell'insieme dei numeri complessi  esistono numeri complessi il cui quadrato è un numero reale negativo. Ad esempio ritornando all'equazione precedente 4x^2+9 = 0 che non ammette soluzione nell'insieme dei numeri reali ha invece due soluzioni nell'insieme dei numeri complessi, cioè 3/2i e -3/2i con rad(numero) che indica la radice quadrata del numero tra le parentesi.

Ricerca operativa (Operation Research o Management Science)

Ricerca operativa è matematica, ma applicata a problemi di decisione.

Mette a disposizione dei modelli matematici per rispondere alle decisioni. Si parte da casi reali, concreti, problemi realistici di decisione con i dati numerici per stabilire (se esiste) una soluzione ottimale. Si va dal particolare, specifico al generale: percorso induttivo.

Cos'è una decisione? 

Una decisione prevede delle alternative e si decide quale alternativa mettere in esecuzione. Si fa un'analisi delle alernative e si cerca di capire quali sono le conseguenze per ogni alternativa possibile. La scelta viene fatta per lo più per le conseguenze, scegliendo l'effetto migliore. Per fare questa scelta si adoperano dei criteri.

Esempio.
Decisione da fare: prendere l'ombrello?
Alternative: 

1. Prendere l'ombrello
2. Non prendere l'ombrello

Conseguenze:

1. Lo si deve portare in giro ma se piove non ci si bagna
2. Se piove ci si bagna

Criteri: comodità e rischio di bagnarsi

Alcune conseguenze possono non dipendere ed essere univocamente determinate dalle alternative (riferendosi all'esempio precedente, il fattore atmosferico) ed i criteri possono essere diversi, sono soggettivi.

Inglese: Movie keywords

Comedy:   love, food, travels, destin, life in general, happy end
pleasant, entertaining, hilarious, makes you laugh, enjoyable, lively, witty

Horror:   death, monsters, zombies, killers, ghosts, vampires, wizard, witchies, aliens
entertaining, scary, frightening, spooky, dark, gloomy, gory, splattering

Science fiction:   scientists, distant/unknown planets, spacecraft, astronauts, monsters, aliens
pleasant, entertaining, scary, dark, based on the future, mystery

Thriller:   murderers, police, detectives, investigation, victims, doctors, witnesses
gripping, entertaining, scary, dark, mystery, based on crime

Dramatic:   love, death, illness, poverty
gripping, entertaining, dark, sad, deals with human passions

I nuovi mezzi moderni permettono agli uomini di diventare più sapienti?

A partire da metà '900, ed ora sempre di più, si sono sviluppati moltissimi mezzi di comunicazione di massa. Tutto ha inizio con la radio. Diffonde notizie in modo orale che quindi sono facilmente accessibili a chiunque.
L'innovazione successiva fu la televisione che si diffuse molto rapidamente con il miglioramento delle condizioni economiche. Infatti oggi è il mass media più diffus: si trova anche in luoghi sperduti e poveri.
La novità tecnologica più recente è il computer che ha avuto una crescita ed uno sviluppo molto veloce. I due mezzi più usati oggi sono la televisione ed il pc.
La parola televisione deriva da due termini, uno di origine greca "tele" cioè lontano e l'altro di origine latina "visione" da "video" che mantiene il significato di vedere. Questo mezzo di comunicazionenon trasmette solo suoni, come la radio, ma anche immagini che assumono un ruolo più importante delle parole. Leggendo un libro si pensa a ciò che "dice" e se si tratta di un romanzo si può anche immaginare la situazione, ma guardando la televisione questo non succede. Non si è portati a farlo: non si è spinti a leggere ed imparare cose nuove. Ci sono molte innovazioni dal punto di vista tecnico della televisione ma questo avanzamento non riguarda la qualità dei contenuti. Le trasmissioni televisive si occupano prevalentemente dell'intrattenimento e la fiction, ci sono pochissime che trattano dell'informazione in modo serio.
La televisione potrebbe essere un ottimo mezzo di comunicazione, essendo in grado di informare anche contemporaneamente, ma la sua finalità non è l'insegnamento. Questa tecnologia quindi non rende l'uomo più sapiente, gli può essere utile se interpreta con un certo senso critico e intelligenza ciò che gli viene trasmesso. In fin dei conti la televisione funge per lo più da passatempo.
La televisione può addirittura peggiorare l'uomo poichè i bambini la guardano fin da piccoli senza una specie di "filtro" ricevendo un'educazione sbagliata, una visione del mondo spesso deformata.
Un nuovo mezzo moderno è il computer. Questo strumento rende più facili e velocizza molte operazioni aiutando l'uomo in vari campi. Ad esempio si possono gestire molte informazioni contemporaneamente in modo da facilitare una ricerca dando così all'uomo del tempo in più per dedicarsi ad altro.
Attraverso un computer si può anche accedere ad internet ed ai suoi numerosi servizi. Grazie a questo sistema si possono collegare insieme moltissimi computer di tutto il mondo. Alcuni servizi offerti sono la posta elettronica, l'accesso a banche dati e lo scambio di informazioni e servizi tra gli utenti.
Un sistema che usa internet è il web (world wide web), uno dei mezzi di comunicazione più innovativi di oggi. Con il web è possibile la ricerca e la trasmissione di informazioni e dati.
In questo modo si ha a disposizione un' infinità di testi ed altre risorse, ma tutto ciò non è sottoposto a nessun controllo da parte di persone, organizzazioni competenti. Quindi si può trovare di tutto e di più e bisogna essere capaci di individuare le informazioni opportune, giuste.
Questo mezzo può far diventare un uomo, con delle basi, più sapiente poichè gli dà la possibilità di apporfondire deglia argomenti a lui noti, essere aggiornato in tempo reale e di confrontarsi con persone di tutto il mondo, senza dover spostarsi o perdere tempo.
Al tempo stesso il computer può essere usato in modo sbagliato cioè senza pensare e riflettere sulle informazioni che vengono date. Così non si può avere una rielaborazione personale e non vengono utilizzate la capacità di ragionamento proprie dell'uomo.